Chignoli, Matthew, et al. "A propagation perspective on recursive forward dynamics for systems with kinematic loops." IEEE Transactions on Robotics (2025). DOI: 10.1109/TRO.2025.3620806

研究背景：

近年来，人形机器人、足式机器人以及高性能机械臂中越来越多地采用准直驱电机、差动传动、平行皮带传动和四连杆机构等复杂执行结构。这类机构虽然能够提升功率密度、降低远端惯量并改善动态响应，但也会在系统内部引入运动学闭环，使机器人不再是传统的开链或树形系统。

对于开链机器人，递归牛顿—欧拉算法和铰接体算法已经能够高效完成动力学计算，其基本动力学方程可写为：

其中，H(q)为质量矩阵，为偏置力项，为生成树关节上的广义力。上述公式适用于无闭环约束的树形系统，但对于含运动学闭环的机器人，还必须考虑额外约束关系。

考虑闭环约束：

若选取独立坐标y，则有：

这说明闭环系统的真实运动并不由全部生成树坐标独立决定，而是被压缩到一组独立坐标y中。因此，如何在保持递归算法效率的同时准确处理闭环约束，是复杂机器人动力学建模中的核心问题。

论文主要思路：

论文围绕含局部运动学闭环系统的递归动力学计算展开，其核心思想是约束嵌入，即将参与闭环约束的多个刚体组合为聚合连杆，并将原始含环系统转化为拓扑上的聚合树。在此基础上，将传统的单刚体关节模型推广为聚合连杆之间的广义关节模型，从而可以继续沿用递归动力学中的传播思想。论文主要贡献可概括为三点：第一，提出聚合关节模型，将运动子空间和力子空间推广到含闭环约束的多刚体子机构；第二，基于多把手铰接体推导约束嵌入形式的递归前向动力学算法；第三，通过基准测试分析约束嵌入方法与稀疏约束动力学算法的适用范围。

   

Fig.1 从传播方法到约束嵌入递归动力学的分析路径

论文详细介绍：

1.运动学闭环为何会增加动力学计算难度？

传统递归动力学依赖树形拓扑。树形系统中，每个刚体只有唯一父节点，速度、加速度、惯量和力可以沿结构逐级传播，因此计算效率较高。而在平行皮带传动、差动机构和四连杆机构中，多个刚体之间会形成额外约束。此时，生成树坐标q不再彼此独立，必须通过约束矩阵G(q)与独立速度y建立联系：

上式表明，闭环机构只允许系统沿特定子空间运动。若忽略这一约束，模型会错误估计关节速度、加速度、约束力及驱动力矩，从而影响仿真和控制精度。

2.约束嵌入：将闭环子机构转化为聚合连杆

约束嵌入的关键不是消除闭环影响，而是将闭环影响封装到局部子机构内部。论文将所有参与同一局部闭环的刚体组合为聚合连杆，使原始含环结构在全局上变成聚合树

                           

Fig.2 从含环连通图到聚合树结构的转换过程

这样处理后，系统在拓扑上重新具备递归传播条件。闭环约束不再作为全局方程反复求解，而是通过聚合关节模型体现在局部运动和力传递关系中。对于由执行器、减速器、差动机构或四连杆引起的局部闭环，这种方法能够在保证建模精度的同时降低计算复杂度。

3.聚合运动子空间：描述闭环机构的允许运动

传统关节模型中，单个关节的相对速度可写为：

其中，Si为关节运动子空间，表示该关节允许的运动方向。

对于聚合连杆，情况更复杂。一个聚合关节可能包含多个刚体、多个普通关节和若干闭环约束，因此论文将其相对速度写成：

其中，Sk为聚合运动子空间，yk为聚合关节的独立速度。上式可以理解为：闭环子机构内部所有刚体的运动，最终由少数独立坐标统一描述。

因此，可进一步给出聚合运动子空间的构造形式：

上式体现了三层映射关系：先由Gk描述闭环约束下的独立速度，再由各普通关节运动子空间Si转换为空间运动，最后通过空间变换矩阵统一到聚合关节表达中。

4.聚合加速度与力传递关系

在动力学计算中，还需要描述加速度传播。聚合关节的加速度关系为：

其中，第一项表示独立加速度引起的主运动，第二项表示构型变化带来的速度相关项。与传统开链关节相比，该式虽然形式相似，但在Sk中包含了闭环约束信息。

此外，闭环机构不仅限制运动，也会产生约束力，故将聚合关节传递的空间力表示为：

其中，τk为独立驱动坐标上的主动作用力，λkc为约束力，且主动作用力与约束力满足：

因此，可得到关键力映射关系：

上式说明，聚合关节中的空间力可以通过聚合运动子空间投影到独立驱动坐标上，从而得到实际驱动力矩。这也是聚合关节模型能够用于递归逆动力学和前向动力学的基础。

                           

Fig.3 聚合连杆内部的力传递与等效表达

5.聚合树上的递归动力学传播

在聚合树中，速度和加速度仍可从根节点向外传播：

随后，根据聚合连杆的惯量计算净空间力：

在向内传播阶段，子聚合连杆的力逐级回传：

最后利用τk=SkTfkJ即可得到独立驱动坐标上的广义力。由此可见，论文并没有改变递归动力学的基本思想，而是将递归传播对象从普通刚体和普通关节推广至聚合连杆和聚合关节。

                           

Fig.4 基于聚合关节的多把手铰接体装配过程

6.算法性能与适用范围

论文通过将约束嵌入铰接体算法与Pinocchio中的稀疏约束动力学算法进行了对比。结果表明，当闭环约束具有局部性，且每个聚合连杆内部刚体数量有限时，约束嵌入算法的计算代价随聚合连杆数量近似线性增长。因此，它特别适合处理电机转子、平行皮带传动、差动机构和四连杆等局部闭环结构。

Fig.5 不同局部闭环机构下前向动力学算法计算时间对比

但约束嵌入并非适用于所有闭环系统。当闭环跨越较远刚体、涉及较大范围机构时，聚合连杆内部复杂度会显著增加，算法优势可能下降。此时，基于稀疏矩阵分解的约束动力学方法可能更加合适。因此，其给出的结论并不是约束嵌入替代所有方法，而是局部闭环适合约束嵌入，非局部大尺度约束则利用稀疏约束求解。

Fig.6 闭环局部性对约束动力学算法效率的影响

Fig.7 忽略或近似闭环执行机构动力学带来的力矩误差

面向工业机械臂动力学建模与振动抑制的拓展：

这篇论文虽然主要讨论了含局部运动学闭环的刚体系统动力学，但其思想对工业机械臂，尤其是重载机械臂的振动抑制研究具有启发意义。重载机械臂的振动不仅来自结构柔性，也与传动链、减速器、平衡机构、局部约束和负载变化有关。若建模时仅采用简化开链模型，可能低估局部传动对系统惯量、驱动力矩和模态激励的影响，从而影响残余振动预测和控制效果。因此，重载机械臂振动抑制可以借鉴其思路，并重点关注三个方向：一是面向减速器、平衡机构和连杆补偿结构的聚合建模；二是将约束嵌入刚体动力学与柔性模态模型耦合，用于分析构型和负载变化下的振动激励；三是将高效动力学求解服务于输入整形、轨迹优化和模型预测控制，提高复杂机械臂振动抑制的实时性。

总结与展望：

论文从传播视角出发，将传统单刚体关节模型中的运动子空间和力子空间推广到由多个刚体组成的聚合连杆之间，构建了适用于闭环子机构的聚合关节模型，并在此基础上推导了约束嵌入形式的递归前向动力学和递归逆动力学算法。基准测试进一步表明，当闭环约束主要来自局部执行机构、传动链或四连杆机构时，约束嵌入方法能够在保持动力学建模精度的同时获得较高计算效率。

随着人形机器人、足式机器人和高性能工业机械臂逐渐采用更紧凑、更高功率密度的执行机构，机器人动力学模型已经不能再停留在理想开链刚体系统层面。执行器、减速器、差动传动、皮带传动和局部连杆机构正在成为系统动力学的重要组成部分。如何在复杂机构拓扑、局部闭环约束和实时控制需求之间取得平衡，将直接影响机器人仿真、控制优化和实际运行性能。

面向未来，含局部闭环机器人的动力学研究应向“结构拓扑建模—局部约束嵌入—快速动力学求解—控制与振动抑制一体化”方向发展。对于重载工业机械臂而言，可将约束嵌入思想与柔性模态建模、传动链动力学、轨迹优化和模型预测控制结合起来，构建更接近真实系统的动力学模型；同时，也可探索局部闭环采用约束嵌入、远端接触或大尺度约束采用稀疏约束求解的混合计算框架，从而兼顾建模精度、计算效率和工程适用性。